엔지니어링 응용 분야에서 Fourier 시리즈는 일반적으로 불연속을 제외한 모든 곳에서 수렴하는 것으로 추정되는데, 이는 엔지니어링에서 발생하는 기능이 수학자가 카운터 예제로 제공할 수 있는 기능보다 더 잘 작동하기 때문에 이 가정. 특히 s {displaystyle s}가 연속이고 s (x) {displaystyle s(x)}의 미분이 정사각형인 경우,s {displaystyle s}의 Fourier 시리즈는 절대적으로 균일하게 s (x) {displaystyle s(x)로 수렴됩니다. )} . [11] 함수가 간격 [x 0 , x 0 + P] {displaystyle [x_{0}, x_{0}+P]} 간격에 정곱통합가능한 경우, Fourier 시리즈는 거의 모든 지점에서 함수에 수렴됩니다. 푸리에 시리즈의 수렴은 또한 널리 푸리에 시리즈에 대한 디리클의 조건 중 하나로 알려진 함수의 한정된 수의 맥시마와 미니마에 따라 달라집니다. 푸리에 시리즈의 수렴을 참조하십시오. 보다 일반적인 함수 나 분포에 대해 푸리에 계수를 정의 할 수 있습니다. 주기 함수와 푸리에 시리즈 계수의 몇 가지 일반적인 쌍은 아래 표에 나와 있습니다. 다음 표기법을 적용: 바이스타인, E. W. “푸리에 변환에 대 한 책.” http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/FourierTransforms.html.

이 문서는 크리에이티브 커먼즈 저작자 표시/공유-모두 라이선스에 따라 라이선스가 부여된 PlanetMath의 푸리에 시리즈의 예에서 나온 자료를 통합합니다. 이제 제품 용어를 -T/2에서 +T/2로 통합하는 것을 상상해 보십시오. 홀수 용어(1차(빨간색) 및 3차 고조파(마젠타) 고조파는 0보다 0 이상 이기 때문에 양수 결과를 갖습니다. 짝수 용어(녹색 및 청록색)는 0으로 통합됩니다(0위와 아래에 동일하기 때문에). 간단한 예이지만 개념은 더 복잡한 함수와 더 높은 고조파에 적용됩니다. 우리는 쉽게 시리즈의 처음 몇 용어를 찾을 수 있습니다. 설정하여, 예를 들어, (n = 5,) 우리는 그로머, 푸리에 시리즈와 구형 고조파의 H. 기하학적 응용 프로그램을 얻을. 뉴욕: 케임브리지 대학 출판부, 1996.

이 예제는 바젤 문제에 대한 해결책으로 이어집니다. 엔지니어링에서 특히 변수 x {displaystyle x}가 시간을 나타내는 경우 계수 시퀀스를 주파수 도메인 표현이라고 합니다. 대괄호는 종종 이 함수의 도메인이 주파수의 개별 집합임을 강조하기 위해 사용됩니다. 평균 값(즉, 0번째 포리에 시리즈 계수)은 a0=0입니다. n>0 다른 계수의 경우, 함수의 짝수 대칭은 바론 장 침례 요셉 푸리에 (왼쪽( 1768-1830 right)를 제공하기 위해 악용되며, 모든 주기적인 함수는 일련의 죄와 코사네로 표현될 수 있다는 생각을 도입했습니다. 조화롭게 관련되어 있습니다. C 0, c ± 1, c ± 2의 경우 … {디스플레이 스타일 c_{0},, c_{pm 1},, c_{pm 2}, ldots } 계수및 n = ∞ ∞ | c n | 2 < { {디스플레이 스타일 합 _{n=-{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}={n}{2}<infty } 다음 독특한 함수 f L 2 ( [ – π , π] {+디스플레이 스타일 fin L^{2}([-pi ,pi]}} 이러한 정리및 수렴 조건을 지정하지 않는 비공식적인 변화는 일반적으로 "푸리에의 정리" 또는 "푸리에 정리"라고도 합니다. [17] [18] [19] [20] 때로는 푸리에 시리즈의 대체 형태가 사용된다.

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