Le Jacobian de $f $ défini chaque fois que $ mathbf{x} neq (0, 0, 0,0) $. Si f: RN → RM est une fonction différable, un point critique de f est un point où le rang de la matrice jacobienne n`est pas maximal. Et encore une fois, chacun de ces nombres complexes représente une action de groupe sur le plan tangent à p. Contrairement à un changement de coordonnées cartésiennes, ce déterminant n`est pas une constante et varie avec les coordonnées (r et θ). Si m = 1, f est un champ scalaire et que la matrice jacobienne est réduite à un vecteur de ligne de dérivés partiels de f — i. L`action est la dilatation par la norme du nombre complexe, et la rotation respectant l`angle, l`angle hyperbolique, ou la pente, selon le cas de J f (p). La matrice jacobienne est importante parce que si la fonction f est différable à un point x (il s`agit d`une condition légèrement plus forte que la simple exigence que tous les dérivés partiels existent à x), alors la matrice jacobienne définit une carte linéaire RN → RM, qui est le meilleur ( pointwise) approximation linéaire de la fonction f près du point x. Elle affirme que, si le déterminant Jacobian est une constante non nulle (ou, de façon équivalente, qu`il n`a pas de zéro complexe), alors la fonction est inversible et son inverse est une fonction polynomiale. En particulier, les dérivés partiels de $f $ existent à $ mathbf{c} $ et donc le Jacobian de $f $ à $ mathbf{c} $ existe. Si une fonction est différenciable à un point, sa dérivée est donnée en coordonnées par le Jacobian, mais une fonction n`a pas besoin d`être différenciable pour le Jacobian à définir, puisque seuls les dérivés partiels sont nécessaires pour exister. Le déterminant Jacobian à un point donné donne des informations importantes sur le comportement de f près de ce point.

En un sens, tant le gradient que le Jacobian sont des «premiers dérivés» — l`ancien premier dérivé d`une fonction scalaire de plusieurs variables, ce dernier étant la première dérivée d`une fonction vectorielle de plusieurs variables. Selon le théorème de la fonction inverse, l`inverse de la matrice de la matrice jacobienne d`une fonction inversible est la matrice jacobienne de la fonction inverse. De là, nous voyons que F inverse l`orientation à proximité de ces points où x1 et x2 ont le même signe; la fonction est localement inversible partout sauf près des points où x1 = 0 ou x2 = 0. Le déterminant Jacobian est parfois appelé «le Jacobian». La réciproque de cette déclaration indique que si une fonction est discontinue à un point, alors cette fonction ne peut pas être différable à ce point. Ces concepts sont nommés d`après le mathématicien Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851). Simon, C.

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